O que é um solitão

Para perceber a física dos solitões temos que recordar alguns dos conceitos da teoria de ondas lineares. A frequência de uma onda é uma função do vector de onda, k, i.e.\omega=\omega(k) (onde \omega(k)\equiv k^3 no caso dos solitões). Esta relação entre a frequência e o vector de onda chama-se a lei de dispersão.

A lei de dispersão permite relacionar a onda linear com duas características importantes:

  • a velocidade de fase:v_f=\frac{\omega(k)}{k},
  • a velocidade de grupo:v_g=\frac{d\omega(k)}{dk}.
Evolução de uma onda com a forma de uma solitária num meio dispersivo.

Pode-se demonstrar que a energia duma onda se propaga com a velocidade de grupo. Como é fácil de verificar no nosso caso, vf = k2 e vg = 3k2 e portanto a velocidade de fase não é igual à velocidade de grupo e, o que é ainda mais importante, a velocidade de grupo depende do vector de onda. Por outras palavras, modos com vectores de onda diferentes propagam-se com velocidades diferentes. Quando isto acontece diz-se que existe dispersão de ondas no meio. Na sequência da dispersão, um pacote de ondas durante a propagação muda de forma. Um exemplo deste comportamento mostra-se na figura da direita, onde se admite que um pacote de ondas inicialmente (i.e. a t = 0) tem a forma duma onda solitária .

Evolução da mesma onda na auxência de dispersão.

Agora consideremos a situação contrária – quando a amplitude da onda é tão grande que o termo não-linear é dominante e a dispersão torna-se desprezável. Neste caso a frequência torna-se dependente da amplitude A da onda: ω = Ak o que também se verifica para ondas de choque, que aparecem porque a velocidade dos pontos com a maior amplitude é maior. A figura da esquerda mostra um exemplo da evolução dum pacote de ondas, que inicialmente tem a forma de onda solitária na ausência de dispersão.

Ao comparar as duas figuras podemos concluir que os efeitos da dispersão e da não-linearidade são contrários: enquanto a dispersão actua no sentido do alargamento do pacote de ondas, a não-linearidade tenta diminuí-lo. Calculando a dinâmica do pacote de ondas que inicialmente tem a mesma forma dos anteriores, mas que é descrito pela equação KdV, i.e. está sujeito à acção simultânea da não-linearidade e da dispersão, obtém-se o resultado apresentado na figura seguinte, onde podemos ver a propagação do pacote de ondas sem qualquer alteração da forma. Isto é um solitão.

Evolução estável da onda quando os efeitos da dispersão e da não linearidade se compensam mutuamente.

Assim podemos dizer que o solitão KdV representa :

um solitão = balanço entre dispersão e não linearidade