O nosso sistema solar

O relógio de Newton

Lei da gravitação universal

Logo após a publicação em 1687 dos Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, a grande obra de Newton, as suas ideias e as suas técnicas difundiram-se rapidamente e começaram a ser usadas na solução de diversos problemas da astronomia. Sucesso após sucesso, a comunidade científica dos sécs. XVIII e XIX ficou rendida à gravitação Newtoniana. Mas o impacto da obra de Newton estendeu-se muito para além da astronomia, a todas as áreas da física, e deu origem a uma atitude optimista em relação à capacidade humana de, através da matemática, entender o Universo, que funcionaria de acordo com leis deterministas expressas por equações diferenciais como as que Newton escreveu para o sistema solar, como um gigantesco mecanismo de relógio cujas engrenagens eram leis físicas quantitativas simples. Depois de Newton, a partir do final do séc. XVII, toda a comunidade científica abraçou a nova forma de fazer ciência, assente em observar a natureza e descrevê-la com equações.

No entanto, o próprio Newton rapidamente reconheceu as dificuldades matemáticas que se podiam encontrar numa equação diferencial. Não é difícil resolver o chamado problema dos dois corpos, o do movimento de um sistema de dois corpos em interacção gravítica, por exemplo, o Sol e um planeta, ou um planeta e um satélite. Já sabemos que as soluções foram encontradas pelo próprio Newton, e incluem as órbitas elípticas descritas pelas leis de Kepler, entre outras. Mas, se o campo gravitacional produzido pelo Sol é suficientemente predominante para que possamos desprezar a interacção mútua dos planetas sem afectar muito os resultados, para obter soluções muito precisas é necessário em muitos casos considerar a influência dos planetas de maior massa, como Júpiter. Assim, um problema de gravitação é muitas vezes posto como um problema a mais de 2 corpos. Mas as equações de Newton escritas para 3, 4, ou mais corpos em interacção não possuem as soluções que surgem no problema de 2 corpos, suficientemente simples para que possam ser descritas em termos de um pequeno número de funções conhecidas. Como é que Newton e os astrónomos, matemáticos e físicos que continuaram o seu trabalho resolveram este problema?

Para problemas como este, que são pequenas perturbações de problemas com soluções conhecidas, desenvolveram-se técnicas que nos permitem chegar a soluções aproximadas, mas com uma precisão em princípio arbitrariamente grande, desde que tenhamos capacidade para calcular os passos necessários para atingir uma certa precisão. O conjunto destes métodos, que ainda hoje continuam a desenvolver-se, chama-se teoria das perturbações, e é com base nele que é possível obter a partir das leis de Newton resultados relevantes para a dinâmica do sistema solar. O êxito deste programa na astronomia foi tão grande que hoje nos permite enviar a distâncias de milhões de kilómetros missões espaciais que chegam ao seu destino com erros da ordem das dezenas de kilómetros.

Triunfos da gravitação newtoniana

O cometa Halley

Cometa Halley.

Em 1705, o astrónomo inglês Edmund Halley usou a lei da gravitação para achar as órbitas de cometas, às quais as leis de Kepler não fazem referência, mas que têm que corresponder também a soluções do problema de dois corpos, uma vez que a lei de gravitação de Newton se aplica a todos os corpos. Analisando essas soluções, Halley identificou os cometas observados em 1531, 1607 e 1682 como pontos de uma mesma órbita elíptica de grande excentricidade em torno do Sol, ligeiramente perturbada pela presença dos outros planetas, e que passa próximo da Terra de 76 em 76 anos. Com base neste cálculo, Halley previu que o cometa voltaria a passar próximo da Terra em 1758.

Morreu em 1742, não chegando a ver o dia no ano de 1758 em que o cometa que foi baptizado com o seu nome apareceu de facto no céu. Se pensarmos que os cometas, cuja aparição perturbava a absoluta regularidade da ordem celeste, eram vistos como mensageiros dos deuses e prenúncio de grandes eventos, poderemos imaginar o impacto que terá tido o mostrar que afinal eram mais uma manifestação dessa ordem, e que essa ordem era comandada por uma equação.

A descoberta de Neptuno

Descoberta de Neptuno

Até 1781 só eram conhecidos os planetas até Saturno. Neste ano, o astrónomo William Herschel, como por acaso, quando apontava o seu telescópio para o céu, descobriu um novo objecto que se movia relativamente às estrelas: tinha acabado de descobrir Urano. Quando a comunidade de astrónomos soube deste novo planeta, quis naturalmente calcular a sua órbita de acordo com as leis de Newton e comprovar mais uma vez o preciso acordo com as observações. No entanto, nos anos que se seguiram, Urano pareceu comportar-se de maneira um pouco diferente das previsões, mesmo levando em conta as influências gravitacionais de Júpiter e Saturno. O que se observou foi que, até 1822, Urano parecia estar a acelerar na sua órbita, e, a partir dessa altura, o planeta começou a atrasar-se em relação ao movimento previsto. Foi então sugerido que as discrepâncias observadas eram causadas por um 8º planeta, com uma órbita para lá de Urano e numa posição tal que a atracção gravitacional deste planeta sobre Urano produzia exactamente os efeitos observados (ver figura). Atraídos por esta hipótese, 2 jovens matemáticos a trabalharem independentemente, Le Verrier e John Couch Adams, propuseram-se fazer o trabalho necessário para transformar esta ideia numa conjectura científica, que possa ser testada pelas observações: se é verdade que os desvios que observamos em Urano são causados por um 8º planeta, qual a órbita que este planeta tem que ter de modo a produzir esses desvios? A solução deste problema não foi fácil, pela dificuldade técnica dos cálculos envolvidos, e porque era necessário estabelecer hipóteses sobre a massa e a distância ao Sol do planeta desconhecido. Os dois matemáticos chegaram a previsões semelhantes e disseram aos astrónomos para onde deviam apontar os seus telescópios. Surpresa das surpresas, ou nem tanto, o novo planeta foi então imediatamente descoberto e baptizado como Neptuno.

O efeito Slingshot

Efeito Slingshot

O desenho de missões espaciais é o mais moderno triunfo da gravitação newtoniana. O Slingshot é uma técnica usada pela NASA e pela ESA para deflectir as trajectórias de naves espaciais sem gastar combustível. A técnica em si é muito simples de perceber e assenta em 2 princípios gerais da mecânica newtoniana: conservação da energia e conservação do momento. Quando falamos no sistema solar dizemos que é conservativo, isto é, a energia é conservada. Quer isto dizer que o resultado da interacção gravitacional entre dois corpos, por exemplo Júpiter e uma missão espacial, mantém a energia do sistema inalterada: a nave aproxima-se de Júpiter e ganha velocidade (transforma energia potencial em energia cinética), mas como um Skater que desce de um half pipe e torna a subir, a nave traça uma hipérbole e volta a transformar a energia cinética que ganhou em energia potencial, quando se afasta do planeta. Do ponto de vista de Júpiter, num encontro próximo rápido, a velocidade que a nave trazia antes de passar por si é a velocidade que a nave leva ao afastar-se. No entanto, Júpiter não está parado. O que o Sol vê, ver figura, é que Júpiter, ao encurvar a trajectória da nave, acelera-a, transferindo-lhe uma parte do seu momento: apesar do momento linear do sistema Júpiter/nave ser conservado num encontro rápido, há troca de momento entre os dois corpos. No caso mais frequente, a nave aumenta de velocidade à custa da velocidade do planeta. Como o momento é o produto da massa pela velocidade e a massa do planeta é muito maior que a da nave, essa perda de velocidade é desprezável. Por exemplo, a Cassini, uma nave de 5700 kg lançada pela NASA a 15 de Outubro de 1997 teve como destino Saturno. Para lá chegar, a NASA levou a Cassini a fazer voos próximos a Vénus(2), Terra e Júpiter. A primeira passagem a Vénus deu-lhe uma velocidade adicional de 7 km/s, a passagem pela Terra aumentou-lhe a velocidade em 5.5 km/s, em Júpiter ganhou mais 2 km/s. Desta maneira, Cassini chegou a Saturno a 1 de Julho de 2004. Feitas as contas a NASA poupou 75 toneladas de combustível que de maneira alguma teria conseguido colocar a bordo de uma missão que se quer o mais rápida e o menos dispendiosa possível. Dividindo a massa da nave ( = 5700 kg) pela massa de Vénus ( = 4.869 x 10²⁴ kg ), ficamos com uma ideia da ordem de grandeza da velocidade que Vénus perdeu na interacção, 10^-18 m/s. O segredo está precisamente na grande massa dos planetas que lhes permite oferecer boleias às nossas missões sem alterarem significativamente o seu curso.

A Física newtoniana foi responsável na ciência pela idade do optimismo. A elegância das leis de Newton e a qualidade das suas previsões deram origem a uma grande confiança na possibilidade de vir a compreender e controlar todos os fenómenos da natureza com a mesma fiabilidade e precisão com que o sistema solar parecia poder ser descrito. Um dos grandes expoentes deste optimismo foi o físico matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827). Grande matemático e mestre nas técnicas da teoria de perturbações, Laplace propôs-se a responder a uma pergunta que persistia no seu tempo: será que o sistema solar é estável? Isto é, a aparente ordem que observamos nos céus é estável para tempos ilimitados, ou a certa altura o batimento deste relógio cósmico pode vir a falhar, levando a acontecimentos catastróficos à escala do sistema solar? Apesar de o problema ter continuado em aberto até muito depois dos trabalhos de Laplace, os cálculos aproximados que foi capaz de levar até uma grande precisão levaram-no a favorecer uma resposta afirmativa ao problema da estabilidade, e a uma enorme confiança na capacidade de previsão da mecânica newtoniana, que traduziu na famosa frase:

Podemos considerar o estado presente do Universo como o efeito do seu passado e a causa do seu futuro. Se um intelecto, num determinado momento, conhecesse todas as forças que são a causa de movimento na natureza e a posição de todos os corpos que a constituem, e se além disso fosse suficientemente vasto para submeter toda essa informação a análise, então conseguiria, numa única fórmula, abarcar o movimento dos maiores corpos do Universo, assim como do mais pequeno átomo; para um tal intelecto, nada seria incerto, e tanto o futuro como o passado estariam perante os seus olhos.

Apesar do optimismo, nem todos ficaram satisfeitos com a resposta de Laplace a este problema, que não era final no sentido em que dependia da possibilidade de poder desprezar o efeito de termos suficientemente pequenos nas equações com que trabalhou. O futuro veio a dizer que precisamente nesses termos o sistema solar escondia algo de imprevisível: o caos.