O tapete de Sierpinski

O tapete de Sierpinski é o conjunto resultante da remoção sucessiva do quadrado do centro, quando se divide um quadrado em nove quadrados iguais. No applet seguinte podemos visualizar os primeiros seis passos da sua construção carregando nos botões "previous stage" e "next stage".

Este conjunto tem algumas propriedades bastante interessantes:

  • Tem área zero, pois a cada passo a área reduz-se para 8/9 da área do passo anterior. Por exemplo se a área inicial for 1, ao fim do primeiro passo é 8/9, ao fim do segundo é 8/9 × 8/9, ao fim do terceiro é 8/9 × 8/9 × 8/9, pelo que a área limite é 8/9 × 8/9 × 8/9 × ... = 0.
  • É infinito, pois os lados do quadrado nunca são removidos.
  • É auto-semelhante, i.e. cada parte é uma cópia de si própria, como pode ser visto na seguinte animação:
Animação que mostra a auto-semelhaça do tapete de Sierpinski.